Ein hybrider gieriger politischer Optimierer mit Feuerwerksalgorithmus für numerische und technische Optimierungsprobleme

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 13243 (2022) Diesen Artikel zitieren

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In diesem Artikel wird ein neuartiger hybrider Optimierungsalgorithmus namens GPOFWA vorgeschlagen, der den politischen Optimierer (PO) mit dem Feuerwerksalgorithmus (FWA) integriert, um numerische und technische Optimierungsprobleme zu lösen. Die ursprüngliche PO verwendet optimale Untergruppenlösungen wie Parteiführer und Wahlkreissieger, um die Bewegung des Suchagenten zu leiten. Die Anzahl solcher optimaler Untergruppenlösungen ist jedoch begrenzt, was zu unzureichenden globalen Explorationsfähigkeiten von PO führt. Darüber hinaus mangelt es der jüngsten Strategie zur Aktualisierung der Position auf Vergangenheitsbasis (RPPUS) von PO an einer effektiven Überprüfung der aktualisierten Kandidatenlösungen, was die Konvergenzgeschwindigkeit des Algorithmus verringert. Der vorgeschlagene Hybridalgorithmus nutzt den Funkenexplosionsmechanismus in FWA, um Explosionsfunken- und Gauss-Explosionsfunkenoperationen für die optimalen Lösungen der Untergruppe (Parteiführer und Wahlkreissieger) auf der Grundlage der Greedy-Strategie durchzuführen, wodurch die optimale Lösung der Untergruppe optimiert und die Ausbeutungsfähigkeit verbessert wird des Algorithmus. Darüber hinaus werden Gaußsche Explosionsfunken auch zur Korrektur der Kandidatenlösungen nach RPPUS verwendet, was die Mängel der ursprünglichen PO ausgleicht. Darüber hinaus soll eine neue Untergruppen-Optimierungslösung namens Converged Mobile Center (CMC), die auf bidirektionaler Betrachtung basiert, die Bewegung von Suchagenten steuern und die Bevölkerungsvielfalt aufrechterhalten. Wir testen den vorgestellten Hybridalgorithmus an 30 bekannten Benchmark-Funktionen, CEC2019-Benchmark-Funktionen und drei technischen Optimierungsproblemen. Die experimentellen Ergebnisse zeigen, dass GPOFWA hinsichtlich der Qualität der resultierenden Lösung vielen modernen Methoden überlegen ist.

Optimierung ist ein numerischer Prozess, der zur Bestimmung der Entscheidungsvariablen zur Minimierung oder Maximierung des Zielfunktionswerts unter Einhaltung der Einschränkungen des Entscheidungsraums1 verwendet wird. Optimierungsprobleme sind in vielen realen Anwendungen unvermeidlich und enthalten normalerweise nichtlineare Zielfunktionen und Einschränkungen mit mehreren lokalen Optimums und gering realisierbaren Bereichen2. Diese komplexen Merkmale machen es für traditionelle mathematische Programmiermethoden wie konjugierte Gradienten, sequentielle quadratische Programmierung, Newtons Methode und Quasi-Newtons Methode schwierig, das Optimum zu finden3. Metaheuristische Algorithmen (MAs) haben sich in den letzten Jahrzehnten in vielen angewandten Disziplinen aufgrund der höheren Leistung und der geringeren erforderlichen Rechenkapazität und -zeit als deterministische Algorithmen bei verschiedenen Optimierungsproblemen durchgesetzt4,5,6,7,8,9,10,11, 12. Als Zweig der Zufallsoptimierung können metaheuristische Algorithmen mithilfe der verfügbaren Ressourcen eine nahezu optimale Lösung finden, obwohl nicht immer garantiert ist, dass sie das globale Optimum finden. Die meisten MAs sind von der menschlichen Intelligenz, der sozialen Natur biologischer Gruppen und den Gesetzen natürlicher Phänomene inspiriert. Einige klassische Vertreter von MAs, wie genetischer Algorithmus (GA)13, Partikelschwarmoptimierung (PSO)14, Differential Evolution (DE)15, Grey Wolf Optimizer (GWO)16, Harris Hawks Optimizer (HHO)17, Bat Algorithmus (BA). )18, Waloptimierungsalgorithmus (WOA)19, Salp Schwarmalgorithmus (SSA)20, Sinus-Cosinus-Algorithmus (SCA)21, Wasserkreislaufalgorithmus (WCA)22 usw. wurden erfolgreich zur Lösung einiger komplexer Optimierungsprobleme eingesetzt.

Das No Free Lunch (NFL)-Theorem besagt jedoch, dass es unmöglich ist, alle Optimierungsprobleme mit einem bestimmten Algorithmus zu lösen23, was bedeutet, dass ein Algorithmus für ein bestimmtes Optimierungsproblem geeignet ist, aber möglicherweise nicht für ein anderes Optimierungsproblem mit anderen Eigenschaften. Daher ist weitere Forschung zu MAs erforderlich, um verschiedene Optimierungsprobleme zu lösen. Zu den Forschungsrichtungen der MAs gehören das Vorschlagen neuer Algorithmen, die Verbesserung bestehender Algorithmen und die Hybridisierung verschiedener Algorithmen. Die Hybridisierung verschiedener Algorithmen hat Aufmerksamkeit erregt, da sie ihre jeweiligen Vorteile hervorheben und die Leistung der Algorithmen verbessern kann. Verschiedene Hybridalgorithmen haben gute Ergebnisse erzielt, wie z. B. die Hybridisierung der Partikelschwarmoptimierung mit differenzieller Evolution, vorgeschlagen von Wang et al.24, der hybridisierende Sinus-Cosinus-Algorithmus mit differenzieller Evolution, vorgeschlagen von Li et al.25, die Hybridisierung des Partikelschwarms mit dem Gray-Wolf-Optimierer, vorgestellt von Zhang et al.26. Der Feuerwerksalgorithmus (FWA) war ein neu entwickelter Algorithmus zur Optimierung der Schwarmintelligenz, der durch die Simulation des Prozesses einer echten Feuerwerksexplosion und die Erzeugung einer großen Anzahl von Funken im Jahr 201027 vorgeschlagen wurde. Wenn das Feuerwerk explodiert, sind die Funken überall. Der Explosionsprozess des Feuerwerkskörpers kann als Suchverhalten des Suchagenten im lokalen Raum angesehen werden. Die Hauptidee von FWA besteht darin, Feuerwerk und Funken als unterschiedliche Arten von Lösungen zu verwenden, um den zulässigen Raum der Optimierungsfunktion zu durchsuchen. Als hervorragender Algorithmus wurde FWA in den letzten Jahren bei der Hybridisierung mit vielen anderen Algorithmen eingesetzt. Zhu et al.28 hybridisierten den Feuerwerksalgorithmus mit dem Partikelschwarmalgorithmus, um DFWPSO zu bilden, das bei numerischen Optimierungsproblemen konkurrenzfähig und effektiv funktionierte. Yue et al.29 schlugen einen neuen Hybridalgorithmus namens FWGWO vor, der auf dem Grey-Wolf-Optimierer und dem Feuerwerksalgorithmus basiert, und erzielten hervorragende Ergebnisse bei der globalen Optimierung. Guo et al.30 fügten dem Fireworks-Algorithmus den Differential-Evolution-Operator hinzu und schlugen 2019 einen hybriden Fireworks-Algorithmus mit Differential-Evolution-Operator (HFWA_DE) vor. Zhang et al.31 führten den Migrationsoperator der biogeographiebasierten Optimierung in den Fireworks-Algorithmus ein, um die Informationen zu verbessern Teilen zwischen Populationen und präsentierte einen hybriden biogeographiebasierten Optimierungs- und Feuerwerksalgorithmus für die globale Optimierung.

Political Optimizer (PO) ist ein neuer metaheuristischer Algorithmus, der auf menschlichem Verhalten basiert, das vom mehrstufigen politischen Prozess inspiriert ist. PO simuliert alle wichtigen Schritte in der Politik, wie Parteigründung, Parteiabstimmung, Wahlkreisverteilung, Wahlkämpfe und Parteiübergänge, zwischenparteiliche Wahlen und parlamentarische Angelegenheiten nach der Regierungsbildung. Darüber hinaus hat PO eine neue Positionsaktualisierungsstrategie eingeführt, die sogenannte „Recent Past-Based Position Update Strategy“ (RPPUS). Letzteres stellt das Verhalten dar, das Politiker aus der letzten Wahl gelernt haben32. Im Vergleich zu herkömmlichen Optimierungsalgorithmen weist PO eine bessere Wettbewerbsfähigkeit auf. Daher haben viele Forscher es seit dem Vorschlag der PO in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen angewendet. Askari et al.33 setzten PO für das Training von Feedforward-Neuronalen Netzen ein, um die Klassifizierungs- und Regressionsprobleme zu lösen, und erzielten gute Erfolge. Durmus et al. nutzten PO zur Verbesserung der Strahlungseigenschaften von konzentrischen kreisförmigen Antennenarrays (CCAAs) im Fernfeld wie der drahtlosen Kommunikation von Smart Grids und dem Internet der Dinge und erreichten einen niedrigeren Sidelobe Level (SLL)-Wert als andere Optimierungsmethoden34. Manita et al.35 schlugen eine binäre Version von PO vor, um Merkmalsauswahlprobleme mithilfe von Genexpressionsdaten zu lösen. Elsheikh et al.36 präsentierten ein neuartiges optimiertes Vorhersagemodell auf PO-Basis für das umweltfreundliche MMS-Drehen der AISI 4340-Legierung mit Nanoschmierstoffen. Darüber hinaus haben einige Wissenschaftler Verbesserungen an den Mängeln von PO vorgenommen. Askari et al.37 modifizierten jede Stufe von PO, um die Explorationsfähigkeit und das Gleichgewicht des Algorithmus zu verbessern, da festgestellt wurde, dass PO bei komplexen Problemen vorzeitig konvergiert. Zhu et al.38 fanden auch heraus, dass PO das Problem schlechter globaler Explorationsfähigkeiten hat, und sie integrierten PO mit quadratischer Interpolation, erweiterter quadratischer Interpolation, kubischer Interpolation, Lagrange-Interpolation, Newton-Interpolation und Brechungslernen und schlugen eine Sequenz neuartiger PO vor Varianten.

Als gerade vorgeschlagener neuartiger Schwarmintelligenzalgorithmus weist PO noch viele Bereiche auf, die es wert sind, verbessert zu werden. Es kann festgestellt werden, dass die Hauptidee von PO darin besteht, die Bewegung des Suchagenten durch optimale Untergruppenlösungen zu steuern. Allerdings ist die Anzahl der von der PO verwendeten Untergruppen-Optimallösungen wie Parteiführer und Wahlkreissieger begrenzt, da die Anzahl der Ausgangspopulationen direkt die Anzahl der Parteiführer und Wahlkreissieger bestimmt. Dies führt zu unzureichenden globalen Explorationskapazitäten von PO. Darüber hinaus mangelt es der jüngsten Strategie zur Aktualisierung der Position auf Vergangenheitsbasis (RPPUS) von PO an einer effektiven Überprüfung der aktualisierten Kandidatenlösungen, was die Konvergenzgeschwindigkeit des Algorithmus verringert. Darüber hinaus soll ein neuer lokaler Leiter namens Converged Mobile Center (CMC), der auf wechselseitiger Betrachtung basiert, die Bewegung von Suchagenten steuern, was die Erkundungsfähigkeit verbessert und die Bevölkerungsvielfalt erhält. Durch die Kombination der oben genannten Ideen schlagen wir einen neuartigen hybriden Greedy-Political-Optimizer mit Feuerwerksalgorithmus namens GPOFWA vor und überprüfen seine Wirksamkeit und Überlegenheit anhand eines gut untersuchten Satzes verschiedener Benchmark-Funktionen und drei technischer Optimierungsprobleme. Zusammenfassend sind die Hauptbeiträge dieser Forschung wie folgt:

Wir schlagen einen neuen hybriden Optimierungsalgorithmus namens GPOFWA vor, der den Political Optimizer (PO) und den Fireworks-Algorithmus (FWA) integriert. Mithilfe des Funkenexplosionsmechanismus in FWA führt GPOFWA Explosionsfunken- und Gaußsche Explosionsfunkenoperationen bei Parteiführern und Wahlkreissiegern auf der Grundlage einer Gierstrategie durch, was die Ausbeutungsfähigkeit von GPOFWA verbessert. Gleichzeitig wird der Gaußsche Explosionsfunkenmechanismus des Feuerwerksalgorithmus verwendet, um Bereiche mit besserer Fitness zu erkunden und die Wirksamkeit von RPPUS sicherzustellen.

Wir wenden eine neue Methode namens „Converged Mobility Center“ mit bidirektionaler Berücksichtigung an, um die optimale Untergruppenlösung für die aktuelle Bevölkerung zu generieren, was die Erkundungsfähigkeit verbessert und die Bevölkerungsvielfalt erhält.

Wir untersuchen die Leistung des vorgeschlagenen Algorithmus bei der Lösung von 30 grundlegenden Benchmark-Funktionen in mehreren Dimensionen (30 und 500), CEC2019-Benchmark-Funktionen und drei technischen Optimierungsproblemen. Um die Durchführbarkeit und Wirksamkeit dieses Schemas sowie die Genauigkeit der Ergebnisse unter verschiedenen Aspekten zu überprüfen, verwenden wir experimentelle und statistische Analysen, wie z. B. qualitative Analyse, quantitative Analyse, Konvergenzpräferenz, paarweise vergleichende Analyse (Wilcoxon-Signed-Rank-Test) und rechnerische Komplexität und Sensitivitätsanalyse von Parametern.

Der Rest dieser Forschung ist wie folgt organisiert: Abschnitt 2 befasst sich mit dem grundlegenden politischen Optimierer und dem Feuerwerksalgorithmus. Abschnitt 3 schlägt einen neuartigen hybriden gierigen politischen Optimierer mit Feuerwerksalgorithmus vor. In Abschnitt 4 werden die Versuchsergebnisse verschiedener Algorithmen zur Optimierung der Schwarmintelligenz zu grundlegenden Benchmark-Funktionen und CEC2019-Funktionen erörtert. Abschnitt 5 wendet den Algorithmus auf drei verschiedene technische Optimierungsprobleme an. Abschnitt 6 präsentiert die Schlussfolgerungen dieser Arbeit und Anweisungen für zukünftige Arbeiten.

Politischer Optimierer und Feuerwerksalgorithmus sind in den letzten Jahren vorgeschlagene neuartige Algorithmen mit hervorragender Leistung, die von verschiedenen sozialen Naturphänomenen inspiriert sind und Optimierungsprobleme effektiv lösen können. Der in diesem Artikel vorgeschlagene Hybridalgorithmus verwendet den politischen Optimierungsalgorithmus als Ausgangspunkt, und der Explosionsfunken- und der Gaußsche Mutationsfunkenmechanismus des Feuerwerksalgorithmus werden zum Suchprozess des politischen Optimierungsalgorithmus hinzugefügt, um die Leistung des Algorithmus zu verbessern. In diesem Abschnitt werden diese beiden Algorithmen kurz vorgestellt.

Der politische Optimierer (PO) ist ein neuartiger intelligenter Optimierungsalgorithmus, der vom politischen Wahlprozess der menschlichen Gesellschaft inspiriert ist. Im PO kann jedes Parteimitglied als Lösungskandidat betrachtet werden und das Wahlverhalten der Parteimitglieder als Bewertungsfunktion. Darüber hinaus werden die von Parteimitgliedern erhaltenen Stimmen auf den Fitnesswert der Kandidatenlösung abgebildet. Im Gegensatz zu herkömmlichen Algorithmen, die auf politischen Wahlen basieren, berücksichtigt PO den gesamten Prozess politischer Wahlen, einschließlich fünf Phasen der Parteibildung und Wahlkreiszuteilung, des Wahlkampfs, des Parteiwechsels, der Wahlen zwischen den Parteien und der parlamentarischen Angelegenheiten. PO sucht durch einen mehrstufigen iterativen Prozess nach der optimalen Lösung. Der Hauptalgorithmusablauf ist in Abb. 1 dargestellt. Im Folgenden werden die fünf Hauptphasen von PO vorgestellt.

Das Flussdiagramm des politischen Optimierers.

Zu Beginn von PO wird die gesamte Bevölkerung, die \({n}^{2}\) enthält, in n Parteien aufgeteilt, und jede Partei hat n Mitglieder (Kandidatenlösung). Darüber hinaus übernimmt jedes Parteimitglied auch die Rolle eines Wahlkandidaten, das heißt, es wird ein Mitglied jeder Partei zur Bildung eines Wahlkreises ausgewählt. Wie in Abb. 2 dargestellt, zeigt die rot gepunktete Linie die Aufteilung der politischen Parteien und die blau gepunktete Linie die Aufteilung der Wahlkreise an. Die Abbildung dieser Bevölkerungsaufteilung auf das mathematische Modell besteht darin, dass die gesamte Bevölkerung in n politische Parteien aufgeteilt ist, wie in Gl. (1) und jede Partei besteht aus n Parteimitgliedern, wie in Gl. dargestellt. (2).

Die Bevölkerung und ihre logische Aufteilung in politische Parteien und Wahlkreise.

Jedes Parteimitglied spielt auch die Rolle eines Wahlkandidaten, sodass die gesamte Bevölkerung als n Wahlkreise betrachtet werden kann, die sich als Gl. (3). Hervorzuheben ist, dass die Mitglieder des Wahlkreises auch Parteimitglieder sind, die logische Aufteilung jedoch eine andere ist. Die Mitgliederzahl jedes Wahlkreises ist wie in Gleichung dargestellt aufgeteilt. (4).

Darüber hinaus wird der Anführer der i-ten Partei nach der Berechnung der Fitness aller Mitglieder als \(p_{i}^{*}\) angegeben und die Menge aller Parteiführer wird durch \({P}^{*} dargestellt \) wie in Gl. gezeigt. (5). In ähnlicher Weise gruppiert \({C}^{*}\) nach der Wahl die Gewinner aus allen Wahlkreisen, die als Parlamentarier bezeichnet werden, wie in Gl. (6), wobei \(c_{j}^{*}\) den Gewinner des j-ten Wahlkreises bezeichnet.

Diese Phase ist die Kernphase des Algorithmus und für die Standortaktualisierung des Suchagenten verantwortlich. Im Algorithmus besteht die spezifische Leistung darin, dass Parteimitglieder ihre Positionen entsprechend dem Anführer \({P}^{*}\) der Partei, der sie angehören, und dem Gewinner \({C}^{*}\) ändern ihrem Wahlkreis. Darüber hinaus lernen sie aus den Erfahrungen der letzten Wahl durch einen neuartigen Standortaktualisierungsmechanismus namens „Recent Past-Based Position Update Strategy“ (RPPUS), wie in den Gleichungen formuliert. (7) und (8). Die Hauptidee von RPPUS besteht darin, vielversprechende Bereiche anhand der numerischen Beziehung zwischen der optimalen Lösung einer Untergruppe (Parteiführer oder Wahlkreissieger) und der aktuellen Fitness sowie der vorherigen Fitness des Suchagenten vorherzusagen.

wobei \(m^{*}\) den Anführer einer Partei oder den Gewinner eines Wahlkreises angibt, \(r\) eine Zufallszahl von 0 bis 1 darstellt und \(t\) die aktuelle Iterationszahl darstellt.

Die Phase des Parteiwechsels dient hauptsächlich dem Ausgleich von Erkundung und Ausbeutung, wodurch ein adaptiver Parameter (\lambda) namens Parteiwechselrate eingeführt wird. Jedes Gruppenmitglied kann ausgewählt und zu einer zufällig ausgewählten Partei gewechselt werden. Die Schaltwahrscheinlichkeit wird durch \(\lambda\) bestimmt, das anfänglich 1 ist und linear auf 0 abnimmt, wie in Gleichung gezeigt. (9).

In dieser Phase wird die Eignung jeder Kandidatenlösung bestimmt und die Parteiführer und Wahlkreissieger werden anhand der Gleichungen aktualisiert. (10) und (11).

Die Phase des Parteiwechsels zielt auf den Wechsel der Perspektive der Partei ab, und die Phase der parlamentarischen Angelegenheiten ist der Wechsel der Perspektive des Wahlkreises. Die Wahlkreissieger interagieren miteinander, um ihre Fitness zu verbessern. Jeder Wahlkreissieger verwendet die folgende Gleichung, um seine Position im Verhältnis zu jedem anderen zufällig ausgewählten Wahlkreis zu aktualisieren. Es ist zu beachten, dass die Bewegung nur angewendet wird, wenn die Fitness von \(c_{j}^{*}\) besser wird.

Der Feuerwerksalgorithmus (FWA) ist ein in den letzten Jahren vorgeschlagener Algorithmus zur Optimierung der Schwarmintelligenz, der von der Explosion von Feuerwerkskörpern inspiriert ist. Normalerweise feiern wir mit einem Feuerwerk. Wenn das Feuerwerk explodiert, sind die Funken überall. Der Explosionsprozess des Feuerwerkskörpers kann als Suchverhalten des Suchagenten im lokalen Raum angesehen werden. Der Feuerwerksalgorithmus basiert auf dieser Idee, und das Flussdiagramm des Feuerwerksalgorithmus ist in Abb. 3 dargestellt.

Das Flussdiagramm des Feuerwerksalgorithmus.

Es sollte betont werden, dass Feuerwerkskörper unterschiedlicher Qualität bei der Explosion unterschiedliche Funken erzeugen. Hochwertige Feuerwerkskörper erzeugen bei der Explosion unzählige Funken. Die Explosion des Feuerwerkskörpers bildet einen Kreis und die Funken konzentrieren sich im Zentrum der Explosion. Umgekehrt erzeugt ein schlechtes Feuerwerk bei der Explosion weniger Funken und die Funken breiten sich aus und bilden unregelmäßige Formen. Aus Sicht des Schwarmintelligenzalgorithmus wird ein Feuerwerk als mögliche Lösung angesehen. Ein gutes Feuerwerk bedeutet, dass sich ein Lösungskandidat in einem vielversprechenden Bereich befindet und nahe an der globalen optimalen Lösung liegt. Daher können in der Nähe eines guten Feuerwerks mehr Funken erzeugt werden, um die global optimale Lösung zu finden, und der Suchradius ist so klein wie möglich. Ein schlechtes Feuerwerk bedeutet, dass die Position der Kandidatenlösung nicht ideal ist. Daher sollte der Suchradius größer sein und die Anzahl der erzeugten Funken entsprechend verringert werden.

Wie bereits erwähnt, sollte ein gutes Feuerwerk mehr Funken erzeugen, während ein schlechtes Feuerwerk weniger Funken erzeugt. Die Berechnung der Anzahl der von jedem Feuerwerk erzeugten Funken ist in Gleichung dargestellt. (12). Gute Feuerwerkskörper liegen näher am globalen Optimum, sodass die Explosionsamplitude kleiner ist, während bei schlechten Feuerwerkskörpern genau das Gegenteil der Fall ist. Die Explosionsamplitude für jedes Feuerwerk ist durch Gleichung definiert. (13).

wobei \(y_{{{\text{min}}}} = {\text{min}}(f({\varvec{x}}_{{\varvec{i}}} ))\), \( y_{{{\text{max}}}} = {\text{max}}(f({\varvec{x}}_{{\varvec{i}}} ))\), \(\hat{ S}\) und \(\hat{A}\) sind Konstanten, die die Anzahl der Explosionsfunken bzw. die Größe der Explosionsamplitude steuern sollen.

Es ist zu beachten, dass FA zwei Möglichkeiten zur Erzeugung von Funken entwirft. Eine davon sind Explosionsfunken für die normale Suche. Der Algorithmus ist in Algorithmus 1 dargestellt. Die andere ist der Gaußsche Funke, bei dem es sich um einen Mutationsmechanismus handelt. Der Algorithmus ist in Algorithmus 2 dargestellt.

Die ursprüngliche PO weist jedem Agenten eine Doppelrolle zu und sorgt mithilfe von RPPUS für eine hervorragende Leistung des Algorithmus. Durch sorgfältige Beobachtung können wir jedoch feststellen, dass der Algorithmus noch viel Raum für Verbesserungen bietet. Es gibt folgende Punkte:

Die Hauptidee von PO besteht darin, die Bewegung des Suchagenten durch die optimale Lösung der Untergruppe zu leiten. Die Anzahl optimaler Untergruppenlösungen wie Parteiführer und Wahlkreissieger ist begrenzt, da die Anzahl der Anfangspopulationen direkt die Anzahl der Parteiführer und Wahlkreissieger bestimmt, was zu unzureichenden globalen Explorationskapazitäten der PO führt.

In RPPUS werden die Positionen der Mitglieder auf der Grundlage der Positionen der Mitglieder der vorherigen Generation, der Positionen der Parteiführer oder Wahlkreissieger und der aktuellen Positionen der Mitglieder aktualisiert. Unter Berücksichtigung der numerischen Beziehung zwischen diesen drei Indikatoren kann der günstige Bereich des nächsten Zugs des Mitglieds effektiv vorhergesagt werden. Dies ist jedoch der zukünftige Bewegungstrend, der nur auf der Grundlage von drei Indikatoren vorhergesagt wird und dessen Genauigkeit verbessert werden muss. Darüber hinaus wird nach Abschluss des Updates nicht überprüft, ob sich die Fitness verbessert hat.

Um im Positionsaktualisierungsprozess den Einfluss des Parteivorsitzenden und des Wahlkreissiegers auf die Position der Mitglieder zu berücksichtigen, werden die Mitglieder nacheinander um die beiden optimalen Lösungen der Untergruppe herum bewegt. Wenn die beiden optimalen Lösungen der Untergruppen selbst relativ nahe beieinander liegen, ist der Unterschied zwischen zweimaliger Aktualisierung und einmaliger Aktualisierung nicht groß, und zweimaliges Aktualisieren bedeutet auch, dass alle Dimensionen jedes Mitglieds zweimal aktualisiert werden müssen, was viel Zeit kostet.

Der vorgeschlagene Algorithmus schlägt basierend auf den oben genannten Punkten entsprechende Lösungen vor und bildet schließlich GPOFWA. Für den ersten Punkt führt GPOFWA unter Verwendung des Funkenexplosionsmechanismus in FWA Explosionsfunken- und Gauss-Explosionsfunkenoperationen am Parteiführer bzw. Wahlkreissieger auf der Grundlage einer Greedy-Strategie durch und optimiert so die optimale Lösung für die Untergruppe. Für den zweiten Punkt nutzt GPOFWA den Gaußschen Explosionsfunkenmechanismus des Feuerwerksalgorithmus, um Bereiche mit besserer Anpassungsfähigkeit zu erkunden und die Wirksamkeit von RPPUS sicherzustellen. Bezüglich des dritten Punktes schlägt dieser Artikel eine neue optimale Untergruppenlösung namens Converged Mobility Center (CMC) mit bidirektionaler Berücksichtigung vor, die nicht nur die Vorteile des Parteivorsitzenden und des Wahlkreissiegers berücksichtigt, sondern auch die Bevölkerungsvielfalt wahrt.

Das hervorstechendste Merkmal von FWA ist, dass der Feuerwerksexplosionsoperator den Suchvorgang des Suchagenten tatsächlich simuliert. Das Generieren einer großen Anzahl von Funken bedeutet, dass eine große Anzahl möglicher Lösungen generiert wird. PO aktualisiert die Position des Suchagenten um optimale Untergruppenlösungen, die Anzahl der optimalen Untergruppenlösungen ist jedoch durch die Größe der Anfangspopulation begrenzt. Gleichzeitig werden die Personen, die den Explosionsvorgang in FWA durchführen, optimal aus der Gesamtbevölkerung ausgewählt und eine Untergruppe optimaler PO-Lösungen herausgesucht, die für den Explosionsvorgang verwendet werden können. Darüber hinaus entsprechen die beiden Explosionsmethoden von FWA den beiden optimalen Untergruppenlösungen von PO und ergänzen sich gegenseitig. Hier führen die Parteiführer die Explosions-Funken-Operation und die Wahlkreissieger die Gaußsche Funken-Operation durch. Der detaillierte Ablauf ihres Sprengvorgangs ist in Abb. 4 dargestellt. In der Abbildung stellt jeder Punkt eine mögliche Lösung dar, und jeder fünfzackige Stern stellt den durch die Explosion erzeugten Funken dar. Punkte gleicher Farbe zeigen an, dass sie derselben politischen Partei angehören, und die Punkte mit der dunkelsten Farbe zeigen den Vorsitzenden der Partei an. Offensichtlich gehören die Punkte in derselben Ellipse zu einem Wahlkreis, und die mit einem „W“ gekennzeichneten Punkte geben den Gewinner des Wahlkreises an. Der Parteivorsitzende führt eine Funkenexplosionsoperation (sechseckiges Feuerwerk) durch, während der Wahlkreissieger eine Gaußsche Explosionsoperation (fünfeckiges Feuerwerk) durchführt.

Parteiführer und Wahlkreissieger führen Explosionsaktion durch.

Ähnlich wie beim FWA ist die Berechnung der Anzahl der durch die optimale Untergruppenlösung erzeugten Funken in den Gleichungen dargestellt. (14) und (15). Der Unterschied besteht darin, dass bei der Funkenerzeugung nur die optimalen Lösungen der Untergruppe berücksichtigt werden. Eine bessere optimale Teilgruppenlösung erzeugt mehr Funken, und eine optimale Teilgruppenlösung mit geringerer Fitness erzeugt weniger Funken.

wobei \(K_{i}^{p}\) die Anzahl der vom Anführer der \(ith\)-Partei erzeugten Funken angibt, \(K_{j}^{c}\) die Anzahl der von erzeugten Funken angibt der Gewinner des \(jth\)-Wahlkreises, k ist ein Parameter, der die Gesamtzahl der Funken steuert, die von Parteiführern oder Wahlkreissiegern erzeugt werden, \(p_{{{\text{max}}}}^{*} = {\ text{max}}\left( {f\left( {p_{i}^{*} } \right)} \right)\) (\(i = 1, 2, \ldots , N\)) ist der maximaler (schlechtester) Wert der Zielfunktion unter den N Parteiführern, \(c_{{{\text{max}}}}^{*} = {\text{max}}\left( {f\left( { c_{j}^{*} } \right)} \right)\) (\(j = 1, 2, \ldots , N\)) ist der maximale (schlechteste) Wert der Zielfunktion unter den N Wahlkreissiegern , und \(\xi\), die kleinste Konstante im Computer, wird verwendet, um Nullteilungsfehler zu vermeiden.

Da die Parteiführer die Explosionsfunkenoperation durchführen, ist es notwendig, die Explosionsreichweite zu berechnen. Die Berechnungsformel ist in Gl. dargestellt. (16).

wobei \(R_{i}^{p}\) die Explosionsreichweite des Anführers der \(ith\)-Partei darstellt, R die maximale Explosionsreichweite bezeichnet, \(p_{{{\text{min}}}} ^{*} = {\text{min}}\left( {f\left( {p_{i}^{*} } \right)} \right)\) (\(i = 1, 2, \ldots , N\)) ist der minimale (beste) Wert der Zielfunktion unter den N Parteiführern.

Es ist zu beachten, dass die Parteiführer und Wahlkreissieger, nachdem sie die Explosionsoperation auf der Grundlage der Greedy-Strategie durchgeführt haben, sich selbst aktualisieren, wenn die von ihnen erzeugten Funken eine bessere Fitness haben als sie selbst. Dieser Prozess wird nach der Parteibildung und Wahlkreiszuteilung durchgeführt, deren Pseudocode in Algorithmus 3 dargestellt ist.

Wie bereits erwähnt, sagt RPPUS nur den günstigen Bereich voraus, in dem sich der Suchagent bewegt, und nach der Aktualisierung fehlt die Überprüfung der Richtigkeit. In einigen Fällen ist die Fitness der Kandidatenlösung nach dem Update schlechter als die Fitness vor dem Update. Wie in Abb. 5 dargestellt, erstellt RPPUS nur grobe Vorhersagen basierend auf drei Referenzpunkten. Wir möchten, dass die Kandidatenlösung in den grünen Bereich eintritt, die Kandidatenlösung kann jedoch in den gelben Bereich gelangen und zu einer Verschlechterung der Fitness führen. Zu diesem Zeitpunkt wird die Kandidatenlösung als „problematische“ Lösung angesehen und sollte korrigiert werden.

Mögliche Mängel von RPPUS.

In diesem Artikel wird der Gaußsche Funke in der FWA verwendet, um die Kandidatenlösung zu korrigieren, deren Eignung nach der Aktualisierung schlechter wird. Die spezifische Methode besteht darin, drei Funken um die Kandidatenlösung herum zu generieren und vor der Aktualisierung zu beurteilen, ob es unter den drei Funken eine bessere Lösung als die Kandidatenlösung gibt. Wenn ja, wählen Sie den besten Funken als neue Kandidatenlösung aus. Wenn die Eignung aller Sparks schlechter ist als die der Kandidatenlösung vor dem Update, wird die Kandidatenlösung vor dem Update geerbt und es werden keine Änderungen vorgenommen. Es ist zu beachten, dass sich der Gaußsche Funke hier geringfügig vom ursprünglichen Feuerwerksalgorithmus unterscheidet, da wir festlegen, dass die Anzahl der durch die „problematische“ Lösung erzeugten Funken drei beträgt. Der Pseudocode dieses Prozesses ist in Algorithmus 4 dargestellt.

Im PO gelten der Parteivorsitzende und der Wahlkreissieger nacheinander als Mittelpunkt, in dem sich die Position des Mitglieds verschiebt. Wenn die beiden Zentren relativ nahe beieinander liegen, ist eine zweimalige Aktualisierung nicht erforderlich. Als Reaktion auf diese Situation schlagen wir eine neue Methode zur Generierung einer neuen Untergruppen-optimalen Lösung als mobiles Zentrum vor – das Converged Mobility Center mit bidirektionaler Rücksichtnahme (CMC), das nicht nur die Vorteile sowohl des Parteivorsitzenden als auch des Wahlkreissiegers nutzt sondern erhält auch die Bevölkerungsvielfalt.

Um ihr Abschneiden bei der Wahl zu verbessern, berufen sich die Kandidaten nicht nur auf die Vorteile der Parteiführer, sondern vergleichen und analysieren auch mit den Wahlkreissiegern. Diese Aktion sollte gleichzeitig und nicht nacheinander ausgeführt werden. Je höher der Rang des Parteivorsitzenden der Partei des Kandidaten unter allen Parteiführern ist, desto mehr möchte der Kandidat dem Parteivorsitzenden nahe sein. Ebenso gilt: Je besser der Wahlkreissieger des Wahlkreises des Kandidaten unter allen Wahlkreissiegern abschneidet, desto bevorzugter wird der Kandidat den Wahlkreissieger sein. Basierend auf dieser Überlegung wird CMC vorgeschlagen. Wie in Abb. 6 dargestellt, bedeutet \(P^{\prime}\) den ersten Platz unter allen Parteiführern, \(P^{\prime\prime}\) bedeutet den zweiten Platz, \(P^{\prime\prime \prime}\) bedeutet den dritten Rang und \(C^{\prime}\) , \(C^{\prime\prime}\) und \(C^{\prime\prime\prime}\) geben an Platzierung unter den Wahlkreissiegern. CMC wird in der Nähe des höherrangigen Parteivorsitzenden oder Wahlkreissiegers generiert. Die Lösung von CMC ist in Gl. dargestellt. (17).

wobei PF den Parteigewichtungsfaktor darstellt, CF den Wahlkreisgewichtungsfaktor darstellt, \(p_{i,k}^{*}\) den Wert der k-ten Dimension des Parteiführers angibt \(p_{i}^{*} \), und \(c_{j,k}^{*}\) gibt den Wert der k-ten Dimension des Parteiführers \(c_{j}^{*}\) an.

Konvergentes Mobilitätszentrum mit bidirektionaler Berücksichtigung.

Der Parteigewichtungsfaktor PF und der Wahlkreisgewichtungsfaktor CF werden wie folgt berechnet:

wobei \(r_{1}\) und \(r_{2}\) den Zufallswert im Intervall von [0, 1] bezeichnen, \(N\) die Gesamtzahl der Parteien oder Wahlkreise angibt.

Zeitkomplexität ist ein Schlüsselkriterium zur Beurteilung der Qualität eines Algorithmus. Um die Recheneffizienz von GPOFWA zu demonstrieren, analysiert dieser Abschnitt die Rechenkomplexität von PO und GPOFWA. Die Zeitkomplexitätsanalyse von PO umfasst hauptsächlich drei Teile:

Die zeitliche Komplexität der Populationsinitialisierungsphase beträgt \(O(ND)\), wobei \(N\) die Populationsgröße darstellt und \(D\) die Dimensionsvariablen des Problems bezeichnet.

Der Fitnesswert jedes Kandidaten wird zunächst bewertet und die Zeitkomplexität beträgt \(O(NT_{obj})\), wobei \(T_{obj}\) die Kosten der Zielfunktion bezeichnet.

Die Hauptschleife des Algorithmus ist der Hauptzeitverbrauch. Die zeitliche Komplexität der Wahlkampfphase beträgt \(O(2ND)\), \(O(N)\) ist die zeitliche Komplexität der Parteiwechselphase, \(O(NT_{obj} )\) ist die zeitliche Komplexität der Wahlphase und die zeitliche Komplexität der Phase der parlamentarischen Angelegenheiten ist jeweils \(O\left( {\sqrt ND} \right)\) und \(T_{{{\text{max}}}}\). Komponente ist für die Hauptschleife. Daher kann die zeitliche Komplexität der grundlegenden PO für \(T_{{{\text{max}}}}\)-Schleifen wie folgt berechnet werden:

Im Gegensatz dazu führte GPOFWA die Suchstrategie des Feuerwerksalgorithmus ein und übernahm das Converged Mobility Center mit bidirektionaler Berücksichtigung. Die zeitliche Komplexität dieser beiden Algorithmen ist in der Hauptschleife unterschiedlich. GPOFWA führt Explosionsfunken- und Gaußsche Explosionsfunkenoperationen an Parteiführern und Wahlkreissiegern durch, um optimale Lösungen für Untergruppen zu optimieren. Die zeitliche Komplexität dieses Prozesses beträgt \(O\left( {2\sqrt N DK} \right)\), wobei \(K\) die Anzahl der Funken darstellt, die durch die optimale Lösung der Untergruppe erzeugt werden. Gaußscher Funken zur Verifizierung von RPPUS und CMC werden in der Wahlkampfphase angewendet, die zeitliche Komplexität beträgt \(O(ND)\). Daher kann die zeitliche Komplexität des GPOFWA für \(T_{{{\text{max}}}}\)-Schleifen wie folgt berechnet werden:

Aus der detaillierten Analyse können wir schließen, dass sie in der gleichen Größenordnung liegen.

Die Leistung von GPOFWA wird anhand von 30 grundlegenden Benchmark-Funktionen in mehreren Dimensionen (30 und 500), CEC2019-Benchmark-Funktionen und drei technischen Optimierungsproblemen im Vergleich zu einer guten Kombination einiger fortschrittlicher Schwarmintelligenz-Algorithmen bewertet. Diese Testfälle umfassen verschiedene Typen (linear, nichtlinear und quadratisch) von Zielfunktionen mit unterschiedlicher Anzahl von Entscheidungsvariablen und einer Reihe von Typen (lineare Ungleichungen, nichtlineare Gleichheiten und nichtlineare Ungleichungen) sowie der Anzahl von Einschränkungen. Alle Simulationsexperimente werden auf einem Computer mit Win10-Betriebssystem und Intel(R) Core(TM) i7-10750H GHz mit 16 GB RAM durchgeführt. Der vorgeschlagene Algorithmus ist in MATLAB R2020a codiert.

Um die gute Leistung von GPOFWA zu überprüfen, haben wir zunächst dreißig Benchmark-Funktionen zum Testen verwendet, die gleichmäßig in zwei Gruppen unterteilt sind: unimodale Funktion und multimodale Funktion. Die unimodale Funktion (F1–F15) mit der eindeutigen globalen optimalen Lösung kann die Ausnutzungsfähigkeiten verschiedener Algorithmen aufzeigen, während die multimodale Funktion (F16–F30) verwendet werden kann, um die Fähigkeit des Algorithmus zu testen, nicht in die lokal optimale Lösung zu fallen . Es ist zu beachten, dass der multimodale Funktionstestsatz auch einige festdimensionale Funktionen enthält, die in der realen Welt einige Optimierungsprobleme zeigen.

Die detaillierten Informationen der unimodalen Funktion sind in Tabelle 1 aufgeführt, einschließlich mathematischer Ausdrücke, Testdimensionen, Suchbereiche und theoretisch optimaler Werte. Die gleichen Details multimodaler Funktionen sind in Tabelle 2 dargestellt. Um die Überlegenheit von GPOFWA widerzuspiegeln, vergleichen wir es außerdem mit den vorhandenen erweiterten Optimierungsalgorithmen, einschließlich HHO, GWO, SCA, SSA, WCA, WOA, LSA und dem Originalbestellung. Die zum Vergleich verwendeten Algorithmen und ihre Parametereinstellungen sind alle in Tabelle 3 aufgeführt. Es ist erwähnenswert, dass die Parametereinstellungen auf den vom ursprünglichen Autor verwendeten Parametern oder den von verschiedenen Forschern häufig verwendeten Parametern basieren. Um die Fairness des Experiments sicherzustellen, vergleichen wir die Leistung der Algorithmen, nachdem wir jedes Experiment 30 Mal unabhängig voneinander ausgeführt haben, und die maximale Anzahl objektiver Funktionsauswertungen für alle Algorithmen ist auf 30.000 festgelegt.

Zunächst haben wir die Leistung aller ausgewählten Algorithmen auf F1–F15 getestet. Und nutzte drei verschiedene Statistiken, um den ersten Schritt der Auswertung zu starten. Bei diesen Statistiken handelt es sich um den besten Fitnesswert (Best), den durchschnittlichen Fitnesswert (Mean) und die Standardabweichung (Std). Tabelle 4 zeigt die mit diesen Maßnahmen erzielten Ergebnisse, wobei die besten durch Fettdruck hervorgehoben sind. Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass der vorgeschlagene Algorithmus GPOFWA dem ursprünglichen PO überlegen ist und eine bessere Leistung als andere erweiterte Optimierungsalgorithmen erbringt. Insbesondere für F4–F8 und F12 kann GPOFWA den theoretisch optimalen Wert der Funktion ermitteln, während andere Algorithmen sich hinsichtlich der Optimierungsgenauigkeit stark unterscheiden. Auch bei den übrigen unimodalen Funktionen ist die Leistung von GPOFWA besser als bei anderen Algorithmen. Es konvergiert nicht nur schneller, sondern erzielt auch die besten Ergebnisse bei der Suche nach globalen optimalen Werten. Um die Überlegenheit von GPOFWA in der Konvergenzgeschwindigkeit widerzuspiegeln, haben wir auch einige Konvergenzkurven wie in Abb. 7 basierend auf dem durchschnittlichen Fitnesswert jeder Generation in 30 Experimenten gezeichnet und die Stabilität des Algorithmus anhand des entsprechenden Boxplots dargestellt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass GPOFWA für die meisten unimodalen Funktionen in wenigen Iterationen den optimalen Wert finden kann, was zeigt, dass seine globale Optimierungsfähigkeit stärker ist als bei anderen Algorithmen.

Qualitative Ergebnisse einiger unimodaler Funktionen in 30 Dimensionen.

Durch Testen der unimodalen Funktion F1–F15 können wir die leistungsstarke Ausbeutungsfähigkeit von GPOFWA ermitteln. Um die Explorationsfähigkeit von GPOFWA zu bewerten, haben wir zum Testen den multimodalen Funktionssatz F16–F30 verwendet. Wie beim unimodalen Funktionstest verwenden wir auch drei Statistiken mit dem besten Fitnesswert (Best), dem durchschnittlichen Fitnesswert (Mean) und der Standardabweichung (Std), um die experimentellen Ergebnisse zu veranschaulichen. Die experimentellen Ergebnisse sind in Tabelle 5 aufgeführt. Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass GPOFWA beim mehrdimensionalen Funktionstestsatz eine bessere Leistung erbringt als andere erweiterte Optimierungsalgorithmen. Beispielsweise weist GPOFWA in Funktionen wie F16–F20 und F23 eine höhere Optimierungsgenauigkeit auf als andere Optimierungsalgorithmen. Zweitens können wir feststellen, dass die Varianz, die den Laufergebnissen von GPOFWA entspricht, sehr gering ist und die meisten davon 0 oder nahe bei 0 liegen, was bedeutet, dass GPOFWA in 30 Läufen relativ stabil ist. Darüber hinaus haben wir anhand der Ergebnisse von 30 Durchläufen auch die Konvergenzkurve wie in Abb. 8 dargestellt gezeichnet und die Stabilität des Algorithmus anhand des entsprechenden Boxplots dargestellt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Konvergenzgeschwindigkeit und Optimierungsgenauigkeit von GPOFWA überlegen sind. Betrachtet man die Leistung von GPOFWA bei den Testsätzen für unimodale Funktionen und multimodale Funktionen, können wir feststellen, dass GPOFWA nicht nur über eine gute Ausnutzungsfähigkeit verfügt, sondern auch eine gute Erkundungsfähigkeit aufweist.

Qualitative Ergebnisse einiger multimodaler Funktionen in 30 Dimensionen.

Um die Leistung des GPOFWA-Algorithmus bei hochdimensionalen Problemen zu testen, haben wir unimodale und multimodale Funktionen mit 500 Dimensionen getestet. Es ist zu beachten, dass die in 4.1 verwendete Testfunktion einige Funktionen mit fester Dimension enthält. Daher haben wir zum Testen F1–F10 und F16–F25 ausgewählt. Für jede Funktion sind die Parameter dieselben wie oben erwähnt. Abbildung 9 zeigt die qualitative Analyse von Funktionen in 500 Dimensionen. Wir verwenden außerdem die drei Statistiken „Bester Fitnesswert“ (Best), „Durchschnittlicher Fitnesswert“ (Mittelwert) und „Standardabweichung“ (Std), um die experimentellen Ergebnisse zu veranschaulichen. Die experimentellen Ergebnisse sind in Tabelle 6 aufgeführt. Ähnlich wie im niedrigdimensionalen Fall zeigt GPOFWA auch bei hochdimensionalen Funktionen eine überlegene Leistung. Wie in Abb. 9 dargestellt, ist deutlich zu erkennen, dass GPOFWA für unimodale Funktionen wie F2, F4 und F8 eine schnellere Konvergenzgeschwindigkeit und eine höhere Konvergenzgenauigkeit aufweist, während GPOFWA für multimodale Funktionen wie F16 seine Fähigkeit zeigt, lokale Funktionen zu vermeiden optimal. Aus den Ergebnissen lässt sich die Skalierbarkeit des vorgeschlagenen Algorithmus hinsichtlich der Anzahl der Variablen des Optimierungsproblems erkennen.

Qualitative Ergebnisse der Funktionen F2, F4, F8, F16 und F20 in 500 Dimensionen.

Durch das Testen von 30 klassischen Benchmark-Funktionen in niedrigen und hohen Dimensionen können wir bereits die hervorragende Leistung von GPOFWA feststellen. Um die Wirksamkeit der vorgeschlagenen Methode weiter zu untersuchen, verwenden wir zum Testen auch die CEC2019-Benchmark-Funktion. Die CEC2019-Benchmark-Funktion enthält eine Reihe verschobener rotierter Funktionen, um die Stabilität des Algorithmus gegenüber Funktionsverschiebungen zu testen. Es ist erwähnenswert, dass es sich bei den in diesem Abschnitt verwendeten Vergleichsalgorithmen um einige fortgeschrittene und hybride Algorithmen handelt und nicht um den oben verwendeten Basisalgorithmus. Diese Algorithmen sind FWHHO39, PPSO40, CLPPSO40, HHOHGSO41, DE15 und CMA-ES42. Die zum Vergleich verwendeten Algorithmen und ihre Parametereinstellungen basieren auf den vom ursprünglichen Autor verwendeten Parametern oder den von verschiedenen Forschern häufig verwendeten Parametern. Um die Fairness des Experiments sicherzustellen, vergleichen wir die Leistung der Algorithmen, nachdem wir jedes Experiment 30 Mal unabhängig voneinander ausgeführt haben. Abbildung 10 zeigt eine qualitative Analyse einiger CEC2019-Benchmark-Funktionen und Tabelle 7 zeigt Ergebnisse der CEC2019-Benchmark-Funktionen. Aus den experimentellen Ergebnissen kann GPOFWA bei F3, F6, F7, F8 von CEC2019 bessere Ergebnisse erzielen, und aus dem Boxplot ist ersichtlich, dass GPOFWA stabiler ist als andere Algorithmen. Auch wenn sie bei anderen Funktionen nicht optimal sind, können die mit GPOFWA erzielten Ergebnisse möglichst optimal sein.

Qualitative Ergebnisse von F3, F6, F7 und F8 in CEC2019-Benchmark-Funktionen.

Um den vorgeschlagenen Algorithmus fair und genau zu bewerten, führen wir statistische Tests der experimentellen Ergebnisse durch. Um besser zu bestimmen, ob sich die Optimierungsergebnisse von GPOFWA signifikant von denen anderer Algorithmen unterschieden, wurde ein nichtparametrischer Wilcoxon-Test mit einem Signifikanzniveau von 0,05 durchgeführt. Ein Signifikanzniveau \(p\)-Wert unter 0,05 wird als ausreichender Beweis für die Nullhypothese angesehen. Die Wilcoxon-Tests für niedrige Dimensionen (30 oder weniger), 500 Dimensionen und CEC2019 sind in den Tabellen 8, 9 und 10 aufgeführt. In den Tabellen 8, 9 und 10 sind Werte mit \(p\) größer als 0,05 fett dargestellt, und NaN gibt an, dass das Ergebnis des Wertesummentests keine Zahl ist. Die letzte Zeile zeigt die Gesamtzahl im Format (\(+/\ungefähr /-\)), wobei „\(+\)“ angibt, dass der vorgeschlagene GPOFWA die Vergleichsalgorithmen auf dem Signifikanzniveau von 95 % (α = 0,05) übertrifft. „\(-\)“ zeigt an, dass der vorgeschlagene GPOFWA-Algorithmus im Vergleich eine schlechte Leistung aufweist, und „\(\ungefähr\)“ zeigt an, dass zwischen dem vorgeschlagenen GPOFWA-Algorithmus und dem Vergleichsalgorithmus kein signifikanter statistischer Unterschied besteht. Aus der letzten Zeile können wir die Unterschiede zwischen verschiedenen Algorithmen aus statistischer Sicht intuitiver vergleichen. Aus der letzten Zeile von Tabelle 8 ist ersichtlich, dass GPOFWA andere Algorithmen übertrifft. Wir können daraus schließen, dass sich die Leistung von GPOFWA für die Optimierung niedrigdimensionaler Funktionen aus statistischer Sicht erheblich von der Leistung anderer Algorithmen unterscheidet. Tabelle 9 zeigt die Wilcoxon-Testergebnisse für die 500-dimensionale Funktion, und es ist nicht schwer zu erkennen, dass die überwiegende Mehrheit der \(p\)-Werte im Vergleich zu anderen Algorithmen kleiner als 0,05 ist. Es zeigt auch, dass GPOFWA bei hochdimensionalen Problemen im Vergleich zu anderen Algorithmen immer noch einen statistisch signifikanten Vorteil hat. Tabelle 10 zeigt die Wilcoxon-Testergebnisse für die CEC2019-Funktionen. Es ist ersichtlich, dass GPOFWA mit Ausnahme von PPSO und HHOHGSO immer noch offensichtliche Vorteile gegenüber anderen Algorithmen aufweist.

In der ursprünglichen PO wird das Gleichgewicht zwischen Erkundung und Ausbeutung durch einen Parteiwechsel erreicht, der einen Parameter λ verwendet, um die Vielfalt zu steuern, und die Interaktion zwischen den Wahlkreissiegern in der Phase der parlamentarischen Angelegenheiten gewährleistet die Konvergenz von PO32. CPOFWA fügt viele PO-basierte Mechanismen hinzu, um die Leistung des Algorithmus zu verbessern. Erstens führt GPOFWA Explosionsfunken- und Gaußsche Explosionsfunkenoperationen an Parteiführern und Wahlkreissiegern auf der Grundlage einer Greedy-Strategie durch, und der Gaußsche Explosionsfunkenmechanismus des Feuerwerksalgorithmus wird verwendet, um Bereiche mit besserer Fitness zu erkunden, um die Wirksamkeit von RPPUS sicherzustellen. Die Greedy-Strategie verbessert die Ausnutzungsfähigkeit von GPOFWA und der Gaußsche Funke zur Verifizierung von RPPUS verhindert den Ausschluss guter Lösungen. Darüber hinaus verbessert das Converged Mobility Center mit bidirektionaler Berücksichtigung die Nutzungsfähigkeit und erhält die Bevölkerungsvielfalt, wodurch lokale Optima vermieden werden. Wir können die Konvergenz von GPOFWA auch analysieren, indem wir die Konvergenzkurven zahlreicher Testfunktionen beobachten. Es ist zu beobachten, dass GPOFWA im Vergleich zu den Vergleichsalgorithmen in den meisten Fällen eine schnellere Konvergenzrate aufweist, um genaue Lösungen zu erzeugen.

Die GPOFWA umfasst hauptsächlich 4 Parameter: den Parameter \(k\), der die Anzahl der erzeugten Funken steuert, den Parameter \(R\), der den Radius der Funkenexplosion steuert, die Anzahl der Parteien (Wahlkreise) und die anfängliche Partei Schaltrate \(\lambda\). Unter diesen sind der Parameter \(k\) und der Parameter \(k\) einzigartig für GPOFWA. Daher müssen wir den Einfluss der Parameter \(k\) und \(R\) auf die Leistung des GPOFWA-Algorithmus analysieren. Experimente wurden unter vier Parametersätzen in Tabelle 11 durchgeführt. Die Anzahl der Parteien (Wahlkreise) ist auf 8 und die anfängliche Parteikonversionsrate λ auf 1 eingestellt. Wir haben mehrere unimodale Funktionen (F2 und F6) und multimodale Funktionen (F16) ausgewählt und F23) und Funktionen mit fester Dimension (F28 und F29) als Repräsentanten, um die Leistung des Algorithmus unter verschiedenen Parametern zu testen. Die statistischen Ergebnisse von GPOFWA sind in Tabelle 11 aufgeführt, die besten Ergebnisse sind fett gedruckt. Gemäß Tabelle 9 beträgt die Anzahl der erhaltenen optimalen Werte für \(k=50\) und \(R=50\) 5, was größer ist als die Anzahl anderer Fälle. Daher sind \(k=50\) und \(R=50\) die beste Parameterwahl.

In diesem Abschnitt wenden wir GPOFWA auf drei bekannte eingeschränkte technische Probleme an: das Problem der geschweißten Trägerkonstruktion, das Federkonstruktionsproblem und das Dreistabfachwerkproblem, um seine Leistungsfähigkeit bei der Lösung praktischer Probleme zu demonstrieren. Aus Gründen der Fairness und Rationalität des Experiments wird jedes Experiment 30 Mal unabhängig durchgeführt und die Anzahl der Iterationen beträgt 500. Diese technischen Probleme werden von verschiedenen Szenen in der realen Welt abstrahiert, die aus einer Zielfunktion und mehreren Einschränkungen bestehen. Daher benötigen wir eine geeignete Methode, um mit diesen Randbedingungen in diesen technischen Problemen umzugehen. In diesem Abschnitt verwenden wir die Straffunktionsmethode. Bei diesem Ansatz werden Lösungen, die gegen eine der Einschränkungen verstoßen, mit einem hohen Fitnesswert bestraft (im Falle einer Minimierung). Die Straffunktion ist wie folgt definiert:

wobei \(\lambda\) der Straffaktor ist und in diesem Abschnitt auf \(10^{10}\) initialisiert wird.

Das Ziel des Problems der geschweißten Trägerkonstruktion besteht darin, die besten Kosten für das Schweißen von Trägern mit starken Bauteilen zu ermitteln. Wie in Abb. 11 dargestellt, gibt es vier Parameter, die für geschweißte Träger optimiert werden können: Höhe (h), Länge (l), Schweißnahtdicke (t) und Dicke (b). Seine Einschränkungen bestehen aus Scherung (\(\tau\)), Balkenmischungsspannung (\(\sigma\)), Stabverformungslast (\(P_{c}\)) und Balkenendendurchbiegung (\(\delta\) ) und Nebenbeschränkungen. Der mathematische Ausdruck des WBD-Problems ist gegeben durch:

Problem bei der Konstruktion geschweißter Träger.

Intervallwerte der Entscheidungsvariablen:

Wo

wobei \(\sigma_{{{\text{max}}}} = 30000\) psi, P = 6000 lb, L = 14 in, \(\delta_{{{\text{max}}}} = 0,25\ ) in, \({{\rm E}} = 3 \times 10^{6}\) psi, \(\tau_{{{\text{max}}}} = 13600\) psi und \(G = 12 \times 10^{6}\) psi.

Wir vergleichen die statistischen Ergebnisse von 30 unabhängigen Ausführungen von GPOFWA mit einigen anderen hervorragenden Algorithmen und zeigen die Werte der erhaltenen Entwurfsvariablen, den Mittelwert, den besten Wert und die Varianz der optimalen Lösung in Tabelle 12. Die Ergebnisse zeigen, dass die Leistung von GPOFWA ist besser als andere Algorithmen.

Dieses eingeschränkte technische Problem besteht darin, eine Zug-/Druckfeder mit minimalem Gewicht zu entwerfen, deren Struktur in Abb. 12 dargestellt ist. Es gibt drei Variablen, die optimiert werden können, einschließlich des Durchmessers des Drahtes (d) und der Spule (D). und die Nummer der aktiven Spule (N). Das Spring-Design-Problem lässt sich mathematisch wie folgt formulieren:

Problem bei der Konstruktion des Geschwindigkeitsreduzierbalkens.

Intervallwerte der Entscheidungsvariablen:

Wir vergleichen auch die statistischen Ergebnisse von 30 unabhängigen Ausführungen von GPOFWA mit einigen anderen hervorragenden Algorithmen und zeigen die Werte der erhaltenen Entwurfsvariablen, den Mittelwert, den besten Wert und die Varianz der optimalen Lösung in Tabelle 13. Die Ergebnisse zeigen, dass GPOFWA erhalten kann bessere Ergebnisse als andere Algorithmen. GPOFWA hat bei diesen beiden technischen Anwendungsproblemen gute Leistungen erbracht, was zeigt, dass der Algorithmus die Beziehung zwischen Exploration und Exploitation besser ausbalanciert.

Das Dreistabfachwerk-Designproblem ist ein klassisches Designproblem im Bereich der Ingenieurkonstruktion. Das Optimierungsziel dieses Entwurfsproblems besteht darin, ein möglichst leichtes Fachwerk zu entwerfen, das die drei Randbedingungen Spannung, Durchbiegung und Knickung erfüllen muss. Dieses Problem zielt darauf ab, das Volumen der Fachwerkstruktur zu minimieren, das drei Spannungsbeschränkungen unterliegt. Das Strukturmodell und die Parameter des Dreistabfachwerkkonstruktionsproblems sind in Abb. 13 dargestellt und die mathematische Formulierung dieses Problems ist unten angegeben:

Problem bei der Konstruktion von Drei-Stab-Fachwerken.

Intervallwerte der Entscheidungsvariablen:

Wir vergleichen die statistischen Ergebnisse von 30 unabhängigen Ausführungen von GPOFWA mit anderen hervorragenden Algorithmen und zeigen die Werte der erhaltenen Entwurfsvariablen, den Mittelwert, den besten Wert und die Varianz der optimalen Lösung in Tabelle 14. Die Ergebnisse zeigen, dass die optimalen Werte von GPOFWA und PO, SSA und WCA sind konsistent, aber der Durchschnitt und die Varianz von GPOFWA sind die kleinsten unter allen Algorithmen, was darauf hindeutet, dass das vorgeschlagene GPOFWA machbar und effektiv zur Lösung des Entwurfsproblems von 3E-Stab-Fachwerken ist.

Als aufkommender Schwarmintelligenzalgorithmus verfügt PO über eine gute Erkundungsfähigkeit, Erkundungsfähigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit, aber die vom ursprünglichen PO verwendete optimale Untergruppenlösung ist begrenzt, und die jüngste Strategie zur Aktualisierung der Vergangenheitsposition (RPPUS) von PO weist Lücken auf. Der Explosionssuchmechanismus des Feuerwerksalgorithmus bietet bestimmte Potenziale und einzigartige Vorteile. In diesem Artikel wird der Explosionssuchmechanismus des Feuerwerksalgorithmus verwendet, um die optimale Lösung der Untergruppe im politischen Optimierungsalgorithmus zu erweitern und zu optimieren. Gleichzeitig wird der Gaußsche Explosionsfunke des Feuerwerksalgorithmus verwendet, um einige der Mängel von RPPUS auszugleichen. Darüber hinaus wurde ein neuer lokaler Leiter namens Converged Mobile Center (CMC) entwickelt, der auf wechselseitiger Betrachtung basiert und die Bewegung von Suchagenten steuern soll.

Auf dieser Grundlage wird ein Hybridalgorithmus namens GPOFWA erhalten. Um die gute Leistung von GPOFWA zu überprüfen, haben wir ein zweiteiliges Experiment durchgeführt. Im ersten Teil haben wir eine Reihe gut recherchierter verschiedener Benchmark-Funktionen ausgewählt und sie mit neuen Optimierungsalgorithmen für Schwarmintelligenz verglichen, darunter die ursprünglichen HHO, GWO, SCA, SSA, WCA, WOA, LSA, PO. Im Vergleich zu PO weist dieser Algorithmus eine deutlich verbesserte Genauigkeit, Konvergenzkurve, Stabilität und Robustheit bei der Lösung unimodaler oder multimodaler Funktionen auf. Auch im Vergleich zu anderen Methoden weist GPOFWA deutliche Vorteile auf. Im zweiten Teil wenden wir GPOFWA auf drei eingeschränkte technische Probleme an. Aufgrund der Verbesserung des Explosionssuchmechanismus kann GPOFWA bei allen technischen Entwurfsproblemen die besten Ergebnisse erzielen. Die Ergebnisse zeigen, dass GPOFWA eine hervorragende Leistung bei technischen Entwurfsproblemen aufweist, und es wird davon ausgegangen, dass GPOFWA die gleiche Leistung bei anderen komplexeren technischen Problemen erwarten kann.

Zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften weist PO einige Einschränkungen auf, die hervorgehoben werden müssen. Die Einschränkungen von GPOFWA sind wie folgt: Durch die Hinzufügung des explosiven Suchmechanismus hat sich der Zeitaufwand für den Algorithmus erhöht, obwohl CMC diesen neu hinzugefügten Zeitaufwand so weit wie möglich reduziert hat. Zweitens verfügt der Algorithmus über insgesamt 4 Parameter, was relativ komplex ist und in Zukunft verbessert werden muss. In zukünftigen Arbeiten kann der GPOFWA-Algorithmus auch eine binäre Version in Betracht ziehen, um diskrete praktische Probleme wie Antennendesign, Funktionsauswahl usw. zu lösen. Gleichzeitig können wir CMC auch mit anderen Schwarmoptimierungsalgorithmen kombinieren, um seine Leistung weiter zu testen.

Alle im Rahmen dieser Studie generierten oder analysierten Daten sind in diesem Artikel enthalten.

Der zur Bewertung des vorgeschlagenen Algorithmus GPOFWA verwendete Code ist im Dokument verfügbar. Vollständige Codes sind auf begründete Anfrage bei den Autoren erhältlich.

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Die Finanzierung erfolgte durch die National Natural Science Foundation of China (Grant-Nr. 61801521 und 61971450), die Natural Science Foundation der Provinz Hunan (Grant-Nr. 2018JJ2533 und 2022JJ30052) und die Fundamental Research Funds for the Central Universities (Grant-Nr. 2018gczd014 und 20190038020050).

Fakultät für Informatik und Ingenieurwesen, Central South University, Changsha, China

Jian Dong, Heng Zou, Wenyu Li und Meng Wang

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JD und HZ verfassten den Haupttext des Manuskripts, WL und MW bereiteten Abbildungen und Tabellen vor. Alle Autoren haben das Manuskript überprüft.

Korrespondenz mit Meng Wang.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Dong, J., Zou, H., Li, W. et al. Ein hybrider gieriger politischer Optimierer mit Feuerwerksalgorithmus für numerische und technische Optimierungsprobleme. Sci Rep 12, 13243 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-17076-4

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Eingegangen: 16. März 2022

Angenommen: 20. Juli 2022

Veröffentlicht: 02. August 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-17076-4

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